文章目录
子群的定义子群的判定定理（非常重要）判定定理一判定定理二判定定理三
一些思考补充判定定理应用例题定理三
生成子群生成子群定义中心C子群的交和并
子群格陪集陪集例子陪集的基本性质性质1性质2性质三第一个推论推论！第二个推论推论！总结
拉格朗日定理拉格朗日定理推论（1）拉格朗日定理推论（2）应用拉格朗日定理
子群的定义
子群有好多好多个，至于怎么得到一个子群，生成子群是一种方式，继续往下看—— 这里需要注意两个点：
G的非空子集的运算要构成群才是G的一个子群。G本身和e都是G的子群，成为平凡子群。
子群的判定定理（非常重要）
判定定理一
这个有点麻烦，需要证明两个东西——
a
b
∈
H
ab \in H
ab∈H
a
−
1
∈
H
a^{-1} \in H
a−1∈H
判定定理二
判定定理二的ppt好像被吃了，反正就是：
a
b
−
1
∈
H
ab^{-1} \in H
ab−1∈H
判定定理二就是判定定理一的变式，而且更好用了！所以一般我们都用这个。
判定定理三
注意，当已知一个群是有穷群的时候就需要注意了，这个时候判定就用定理三。只需证明——
a
b
∈
H
ab \in H
ab∈H
一些思考补充
只有群能够取负整数次幂，因为元素的逆一定在群中。
判定定理应用例题
定理三
定理三回顾：
生成子群
生成子群定义
根据生成子群的概念，对群G中的某一个元素进行幂运算，幂运算得到的所有结果组成一个集合，所得到的集合，就是G的一个生成子群——记作，指这个生成子群是由a来生成的。
要注意这个地方，幂运算的K取的是整数，也就是说正负均有！（只有群可以这么做）
证明上面的定理！即证明是G的子群。什么？证明子群！那么一下就想到了三个子群判定定理！这里我们用2（定理2特别好用，除非你是一个有穷群）。
一目了然，不做赘述。很容易，就是有点抽象。
生成子群例子： 能够生成G的子群的元素能够被分成两类！
一类：该元素的幂运算后的集合就是G（如下面的60）另一类：该元素的幂运算后的集合真包含于G（如下面的120）。
求a的生成子群很容易，求a的许多次整数次幂，把结果保存成集合就ok。
可以看到，一个很重要的结论——群中的幺元就是子群的幺元。
中心C
群G中能够达成可交换结果的所有元素的集合，成为G的中心Ｃ，本质上也是一个子群。
特点：Ｃ中所有元素满足交换律。
使用判定定理时，一定要先证明非空！！例如证明ｅ存在于集合中（否则扣分）
注意：
子群的交和并
一道十年前的考试题！ 可以记一记这道题的结论——
第一个问证明还比较容易，这个第二个问看的我晕晕的，建议多看几遍，尤其是反证法的运用。
证明子群的时候，只要不是有穷，就用判定定理2，若有穷，就用3。注意看上面证明的步骤。
子群格
一个群G的子群有好多好多个，把这些子群组成一个集合L(G)，这个集合形成的偏序集就叫做子群格。
子群格展示了子群之间的包含关系
子群格展示了子群之间的包含关系
子群格展示了子群之间的包含关系 这个格从上到下具有偏序关系：
陪集
H是G的子群，a是G中的元素，拿a和H中的每一个元素h进行运算，所得到的ha组成一个集合Ha，那么这个Ha就是子群H在G中的陪集，a在h的左边乘就是左陪集，右边乘就是右陪集，a成为代表元素。
像下面这个图，陪集的实际含义就是，把G划分为许多块，每一块的大小都和子群H一样（画网格的部分是子群H，整个圆是G），那么所有的块都是网格部分的陪集（包括网格自己，它的代表元素是e）。容易看出，子群H已经把幺元e划分走了，所以说陪集并不是子群（当然子群自己是自己的陪集，它是子群），而是和H类似的，但是缺乏幺元的集合。
公主请背定义：
陪集例子
例子一：
阿贝尔群是什么？我没有忘记！阿贝尔群就是交换群！其中每一个元素的运算都是可交换的。
这个题里面，定义了群G，子群H…看到这里，题目中好像没有说为什么H是子群，因为这是很显然的，任意a、b属于H，
a
b
−
1
ab^{-1}
ab−1属于H，稍微想一想就知道了。
这个题里面，右陪集即拿
<
x
0
,
y
0
>
我们惊奇的发现，求出的右陪集只有两个，一个是H本身，一个是G中剩下的所有元素！！！这是一个非常好的发现！！！
（因为集合本身是无序的嘛，需要把元素完全相同的集合看作一个集合。）
例子三 G是基于一个函数的集合的复合运算的群。H是从G中挖出来的一个子群，现在要我们找到H的所有右陪集。
先别往下看，想一想，找右陪集？就是从G中揪出一个元素，拿来和H中的所有元素做右运算。所有的右陪集？那就是把G中所有的元素全部揪出来执行上面的过程。G中一共有6个元素，H中有2个元素，那么一共就要做12次运算，至于陪集求出来有多少个，这个不好说，因为可能存在重复的，需要求出来才能做判断。
首先我们用几个三角形把各种函数表示出来，这是一种很好的表示，注意看第三个图，是2不动，基于13做变换，第五个图，从2绕中心轴（穿出纸面，不对，电脑面，三角形中心）旋转120°到达3，因此可以表示
<
2
,
3
>
<2,3>
<2,3>。
分析完毕，现在可以开始我们的运算了：
可以看出，陪集并非相同个数的元素的随意组合！！而是特定的元素组合！！be careful!!!
陪集的基本性质
先基于右陪集给出，左陪集同理。
这些都是要记住的哟~小心考试考到了哼哼哼。
性质1
但是这两个性质都很显然。 敲黑板！！！下面这个性质就很重要了！！而且并非显而易见。这个定理在对相同陪集去重里面能够找到规律。
如果a元素在以b为代表元素得到的H的右陪集里出现了！！那么
a
b
−
1
ab^{-1}
ab−1属于H，以a为代表元素的H的陪集Ha和以b为代表元素的H的陪集Hb相等！！（这三个结果可以互推）（返回上面那几个例题去看看？）
先不看下面分析的情况下，我有下面的思考（略乱，建议跳过）：a元素在以b为代表元素得到的H的右陪集Hb里出现了，也就是说b在与H中的某一个元素进行运算的时候，能得到结果a，让a出现在了Hb里。而Hb陪集，一定是G的子集合（不是群因为没有幺元），所以a一定是属于G的，又因为H是G的子群，现在b属于H，如果证明到a属于H，那么一定有
a
b
−
1
ab^{-1}
ab−1属于H。对于第二个问题，如果证Ha = Hb，哇，这个看起来非常的神奇，不同的元素竟然产生了相同的陪集，当然这是存在且合理的，具体证明还是看下面吧——
性质2
哇你看第一个问，就是把我的思考符号化了，
a
=
h
b
a = hb
a=hb的意思就是说H中的某个元素和b进行运算能够得到a，使a存在于Hb中！然后在
a
=
h
b
a=hb
a=hb上把
b
−
1
b^{-1}
b−1移到左边，很容易就证到了！！！而且还是双箭头，是有互推关系在里面的，学到了学到了，nice~
第二个问证明： 看到这里是想要我们证两个集合相等，什么？证集合相等？？那就是证互包含不就行了么！！ 精髓在于由a属于Hb的关系，得出 然后把b表示出来，在Ha中取元素，使得我们所取的任意元素都存在于Hb中，那不就证到Ha包含于Hb了吗？很简单吧）😭
又来一个性质！陪集怎么这么多性质，现在是第几个？下面这个是第三个了——
性质三
欸！等价关系！他来了！！这看起来好综合的一个定理 😉
等价关系的证明？那就是证明定义在G上的关系R满足自反、传递、对称三个性质就行。
解释一下这个定理：在G上定义二元关系R，任取a、b元素属于群G，如果a、b满足二元关系R，且
a
b
−
1
ab^{-1}
ab−1属于H，则R是G上的等价关系，且代表元素a生成的等价类就是a在H上的右陪集。
三个性质的证明都比较容易理解，就是最后的等价关系，好像要忘记了 😭 快去翻一下之前的。
第一个推论推论！
对于（1），G中两个元素a、b，分别作为代表元素生成的两个陪集，要么完全相等，要么没有交集！
对于（2），所以为什么叫基于子群的陪集分解呢~所有的右陪集（H是自己的右陪集），构成了G的一个划分！！这些陪集的并刚好就是G！于是不得不又拿出那张绿油油的图—— 可以说是非常形象了。 a在H上生成的所有的陪集，要么相等，要么无交集，共同组成了G。
第二个推论推论！
这个符号的含义是等势。也就是说两个集合的元素个数相等。
总结
左陪集同理，以它作为总结。 提出了一个新的概念！正规子群，就是对H、a的左陪集和右陪集相等，那么称H为正规子群或不变子群。
拉格朗日定理
定义是基于有限群提出的！！！ 主要是看这个公式：
∣
G
∣
=
∣
H
∣
⋅
[
G
:
H
]
|G| = |H| · [G:H]
∣G∣=∣H∣⋅[G:H] 群G的阶，等于子群的阶乘以r，这个r：
H
在
G
中的不同的陪集数。
H在G中的不同的陪集数。
H在G中的不同的陪集数。
因此：
子群的阶是群阶的因子
子群的阶是群阶的因子
子群的阶是群阶的因子
看看证明呢： 看到这里，我突然又想起了那张绿油油的图： G的元素个数也就是G的阶，假设为16，那么把G划分成这些块，每一块的个数都是4（保证每个陪集元素个数相等），子群H的阶也是4，一共有4个不同的陪集，即r = 4，很明显！16 = 4 * 4 不必我多说吧！！
拉格朗日定理推论（1）
这个推论乍一看就这，这不是显而易见的嘛！等等等等！！别看错了！这个推论是证群中元素的阶是群阶的因子！而上面拉格朗日定理说的是，子群的阶是群阶的因子！
那怎么办呢！群中元素的阶指的是使
a
k
=
e
a^{k} = e
ak=e成立的最小正整数k！和群的阶，群中元素的个数有什么关系？？别急，让我们看看群中元素的阶和这个元素的生成子群的阶有什么关系—— 你惊奇地发现！a是G中的一个元素，a的阶如果等于k，a的生成子群的阶也是k！这样就把中元素的阶和生成子群的元素个数联系起来了！！妙啊。
那么a的生成子群，不就是G的一个子群吗，根据上面的定理，一切就顺理成章了。😉
群中元素的阶是群阶的因子
群中元素的阶是群阶的因子
群中元素的阶是群阶的因子
拉格朗日定理推论（2）
这个定理特别妙！秒在何处呢？上面的定理我们不是证过了吗，子群的阶是群阶的因子，那如果说！这个群的阶r本身是一个素数呢，那么子群的阶是不是就只能取 r 和 1 了？子群的阶是r？那不就是这个群本身吗，子群的阶是1？那这个子群不就只包含一个元素e吗？
对于G中的某个元素a（如果
a
!
=
e
a != e
a!=e，一定存在a的生成子群就是G本身（上面提到过的60°那个题）。
应用拉格朗日定理
仅含有1阶和2阶元？1阶元不就是e吗，2阶元的特点我们也很容易知道是：
a
−
1
=
a
a^{-1} = a
a−1=a 下面的证明也能够得到了。注意阿贝尔群是可交换群（ab = ba）就行。
下面的图直接看证明吧，饿了不想写了。 注意1阶元和2阶元的特殊性！ 终于没了，子群和群的陪集分解完结撒花~~